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Séminaire F2M

le 23 mars 2017
14h00

Aziz Hamdouni (LASIE, Université de La Rochelle) et David Néron (LMT-Cachan) présenteront leurs travaux au séminaire de la Fédération Francilienne de Mécanique.

Géométrie différentielle et mécanique
De la modélisation à la discrétisation

Aziz Hamdouni
LASIE, Université de La Rochelle, France


Les problèmes de mécanique peuvent être formulés dans le cadre de la géométrie différentielle pour en dégager d'une manière assez élégante les propriétés fondamentales comme les intégrales premières (ou d'une manière générale les lois de conservation), les solutions auto-similaires et les symétries fondamentales. C'est aussi un bon cadre pour formuler des méthodes de construction des modèles réduits, en particulier en mécanique non linéaire.

Dans cet exposé nous nous intéresserons dans un premier temps à l'utilisation du formalisme de la géométrie différentielle pour construire les modèles en mécanique. Nous donnerons différentes applications dont celles issues de la réduction de modèles. Une intention particulière sera portée aux symétries de Lie des équations de la mécanique. Ce sont les transformations portant sur l'espace, le temps, la vitesse, la pression et la température qui laissent invariant l'ensemble des solutions. Elles forment un groupe de Lie (local) qui traduit de nombreuses propriétés en mécanique. Dans le cas de la mécanique des fluides, nous montrerons comment en tirer  profit pour construire des modèles de turbulence ou des solutions auto-similaires. L'approche est assez générale et peut être utilisée en mécanique des solides aussi.

Dans une deuxième partie, nous présenterons des méthodes de discrétisation des équations aux dérivées partielles de la mécanique qui sont basées sur un formalisme géométrique préservant la structure des équations de départ. Ces schémas préservent les propriétés physiques. Il s'agit des intégrateurs géométriques. Nous présenterons divers intégrateurs géométriques : intégrateurs symplectiques et variationnels, des schémas numériques qui préservent le groupe des symétries de Lie des équations et les discrétisations basées sur le calcul différentiel extérieur. L'intérêt de ce type de schéma numérique et ses propriétés seront illustrés sur quelques exemples académiques.


Réduction de modèles PGD pour le traitement des problèmes non linéairesen calcul de structures
David Néron
LMT, ENS Paris-Saclay


La simulation numérique prend aujourd'hui une place essentielle dans de nombreuses branches de l'ingénierie. Les évolutions récentes des moyens de calculs peinent cependant à compenser la complexité croissante des modèles que les ingénieurs souhaiteraient pouvoir traiter dans leur démarche de conception et d'optimisation. La résolution de problèmes à très grand nombre de degrés de liberté, non linéaires, avec présence de plusieurs échelles ou d'interactions entre plusieurs physiques, ou encore, la volonté de prendre en compte les incertitudes ou les variations de paramètres, constituent aujourd'hui des verrous scientifiques. Dans ce contexte, les techniques de réduction de modèles connaissent actuellement un véritable engouement dans les communautés du Mechanical Engineering et des Mathématiques Appliquées, car elles offrent un énorme potentiel pour développer des outils novateurs pour le calcul hautes performances.

Les travaux présentés ici sont basés sur une de ces techniques, la Proper Generalized Decomposition (PGD), ainsi que sur la méthode LATIN, qui permet de résoudre efficacement les problèmes non linéaires rencontrés en calcul de structures. Dans une première partie de l'exposé, la mise en oeuvre de la PGD sera détaillée afin d'appréhender les raisons des gains qu'elle permet d'obtenir. Dans une seconde partie, ses capacités en termes de réduction du temps de calcul seront illustrées sur différents exemples issus de collaborations industrielles(simulation de structures visco-plastiques, prise en compte de l'endommagement dans une structure en béton armé, variations de géométrie...). Enfin, la dernière partie de l'exposé s'intéressera aux limites de ce type de méthodes lorsque le nombre de paramètres devient trop important. De premiers éléments d'une nouvelle approche seront présentés pour tenter de dépasser les limites actuelles
Type :
Séminaires - conférences
Lieu(x) :
Amphithéâtre Bézier
Arts et Métiers ParisTech
151 Bd de l'Hôpital
75013 Paris

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